Les identités remarquables jouent un rôle crucial dans l’étude des mathématiques. Elles sont souvent introduites au collège et continuent à être un outil essentiel au lycée, notamment dans les sujets de simplification et de factorisation. Ces formules permettent de transformer des expressions algébriques complexes en produits de facteurs plus simples, ou inversement, de développer des expressions factorisées qui s’avèrent utiles dans de nombreux domaines des mathématiques telles que la résolution d’équations, l’analyse graphique de fonctions, et d’autres applications pratiques.
Qu’est-ce qu’une identité remarquable?
Une identité remarquable est une égalité qui va simplifier des équations :
- Le carré positif : (a + b)² = a² + 2ab + b²;
- Le carré négatif: (a – b)² = a² – 2ab + b²;
- La différence de carrés: a² – b² = (a + b)(a – b).
La simplicité derrière (a + b)² et (a – b)²
Pour comprendre le premier type d’identité remarquable, prenons comme exemple (3 + x)². Selon la formule, cela se développe en
3² + 2*3*x + x², soit 9 + 6x + x².
Générer cette identité procure un moyen rapide et facile d’obtenir le résultat sans effectuer de multiplication longue et fastidieuse. Au cas où les termes seraient soustraits, utilisez la deuxième formule : (2 – 5x)² se transformera en 4 – 20x + 25x².
La différence de carrés
La troisième identité remarquable, a² – b², est très pratique pour factoriser des expressions qui semblent n’avoir aucun facteur commun à première vue. Par exemple, en voyant x² – 9, on peut reconnaître la forme de cette identité et réécrire l’expression sous la forme
x² - 3²= (x + 3)(x - 3)
Exercice de 3ème pour les identités remarquables
Source : https://sitetab3.ac-reims.fr/clg-nassau/-wp-/wp-content/uploads/3e-revisions-identites-remarquables-dvpmts-1.pdf
Applications des identités remarquables
En dehors de la simplification et de la factorisation, les identités remarquables aident dans d’autres domaines tels que la complétion du carré en calcul algébrique, crucial pour la résolution de certaines équations quadratiques. Elles facilitent aussi la compréhension de la formule du trinôme du second degré, servant à déterminer les racines des fonctions polynomiales du second degré.
Conseils pour maîtriser les identités remarquables
L’apprentissage de ces formules peut sembler compliqué, mais voici quelques astuces :
- Visualisez ces identités comme des schémas. Pour visualiser les formules.
- Ecrivez régulièrement ces formules lors de différents exercices pour vous familiariser avec les formules.
- Faites régulièrement des exercices
- Mettez en contexte les identités remarquables avec des applications concrètes pour leur donner du sens.
Exemple détaillé
Mettre en pratique les identités remarquables à travers des exemples concrets aide à mieux les intégrer. Imaginons que l’on souhaite développer (2x + 3)². D’après la première identité remarquable, on obtient :
(2x + 3)²= (2x)² + 2*(2x)*3 + 3²= 4x² + 12x + 9
Ce développement rapide et systématique offre une solution à ce qui aurait pu être un calcul long et sujet à erreurs. Prenons maintenant l’exemple d’une expression à factoriser, x² – 16. Nous identifierons vite la structure de la différence de carrés :
x² - 16= (x)² - (4)²= (x + 4)(x - 4)
Vous pouvez continuer à vous entrainer !
Méthodes pour réviser efficacement
Au-delà de l’apprentissage des formules, voici quelques méthodes pour les réviser:
- Effectuez la révision par intervalles réguliers plutôt que par longues sessions isolées, ce qui renforce la mémorisation sur le long terme.
- Travaillez en groupe pour consolider votre propre compréhension.
- Utilisez des outils en ligne, comme des quiz interactifs ou des applications, qui peuvent rendre la révision plus dynamique et engageante.
La maîtrise des identités remarquables est une compétence précieuse pour le lycée notamment. Il est donc indispensable de les maitriser quand on les découvre au collège.