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Résoudre inéquations et systèmes d’équations: méthodes de résolution et tracés graphiques

    Résoudre des inéquations et des systèmes d’équations est une compétence fondamentale en mathématiques, particulièrement importante pour les collégiens et les lycéens. Cet article vous guidera à travers les différentes méthodes de résolution, y compris les tracés graphiques, afin de vous aider à maîtriser ces concepts essentiels.

    Résolution d’inéquations

    Les inéquations sont des expressions qui montrent une relation de non-égalité entre deux quantités. Contrairement aux équations, les inéquations spécifient qu’une quantité est plus grande, plus petite, ou différente d’une autre. La résolution d’inéquations consiste à trouver toutes les valeurs possibles qui rendent l’inégalité vraie.

    Par exemple, l’inéquation x + 3 > 2 représente toutes les valeurs de x telles que, lorsqu’on ajoute 3, le résultat est supérieur à 2. Pour résoudre cette inéquation, on isole x en soustrayant 3 des deux côtés pour obtenir x > -1.

    Voici quelques méthodes de résolution:

    • Isolation de la variable: On manipule l’inéquation pour obtenir la variable d’un côté et les constantes de l’autre.
    • Analyse des cas: Particulièrement utile lorsque l’inéquation comporte des valeurs absolues ou des fractions.
    • Utilisation des propriétés des inégalités: Par exemple, la multiplication ou la division des deux côtés d’une inéquation par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.

    Astuce de mémorisation: Lorsque vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, pensez à tourner la boucle de l’inégalité (< > devient < < et vice versa).

    Tracés graphiques pour inéquations

    Le tracé graphique est un outil visuel qui aide à comprendre la solution d’une inéquation. Pour ce faire, on représente l’inéquation comme une droite sur un graphique cartésien.

    Si l’on prend l’exemple de l’inéquation y > 2x + 1, on trace d’abord la droite correspondant à l’équation y = 2x + 1. Ensuite, la zone au-dessus de la droite représente l’ensemble des solutions de l’inéquation (car ces points vérifient que y est plus grand que 2x + 1).

    Pour retenir cette méthode, visualisez toujours l’inégalité comme une frontière. La solution est l’espace où les points ne franchissent pas cette frontière selon le sens de l’inégalité.

    Résolution de systèmes d’équations

    Un système d’équations est un ensemble de deux ou plusieurs équations avec plusieurs inconnus. Le but est de trouver la ou les valeurs des inconnues qui satisfont toutes les équations du système.

    Il y a principalement trois méthodes pour résoudre les systèmes d’équations:

    • Méthode par substitution: Consiste à exprimer une variable en fonction d’une autre, puis de substituer cette expression dans une autre équation.
    • Méthode par combinaison (ou addition): Consiste à additionner ou soustraire les équations pour éliminer une variable.
    • Méthode graphique: Consiste à tracer chaque équation sur un graphique et à trouver les points d’intersection.

    Veillez à bien étudier chaque méthodologie; certains systèmes se prêtent mieux à une méthode qu’à une autre.

    Astuce de mémorisation: Pour la méthode par substitution, souvenez-vous de « SUBstituer pour SIMplifier », et pour la méthode par combinaison, pensez « COMbiner pour COMprimer ».

    Tracés graphiques pour systèmes d’équations

    Le tracé graphique des systèmes d’équations permet de visualiser les solutions. Si les lignes se croisent, le point de croisement représente la solution unique. Si les lignes sont parallèles, il n’y a pas de solution. Si les lignes sont confondues, il existe une infinité de solutions.

    Par exemple, prenons le système suivant:

    • y = x + 1
    • y = 2x + 4

    Chaque équation est tracée sur le même graphique. Le point d’intersection de ces deux lignes est la solution du système.

    L’astuce ici est de se rappeler que la cohérence du système se reflète dans les intersections sur le graphique.

    Exemples et exercices pratiques

    Pour maîtriser ces concepts, rien ne vaut l’entraînement. Essayez de résoudre les inéquations et systèmes suivants en utilisant les méthodes appropriées, puis vérifiez vos réponses avec des tracés graphiques:

    • 3x + 2 ≤ 5x – 4
    • {2x + 3y = 6, x – y = 4}

    Enfin, abordez autant d’exemples et d’exercices pratiques que possible pour renforcer votre compréhension.

    Stratégies de révision

    Pour maîtriser la résolution d’inéquations et de systèmes d’équations, suivez ces étapes lors de vos révisions:

    • Révisez les règles de manipulation des inégalités et des équations.
    • Faites un plan de révision incluant des exercices variés.
    • Utilisez des aides visuelles, comme des graphiques, pour mieux comprendre les solutions.
    • Travaillez en groupe ou avec un tuteur pour échanger des méthodes de résolution.
    • Révisez régulièrement et testez-vous pour améliorer votre rapidité et votre précision.

    En vous appuyant sur ces fondations solides, vous gagnerez en confiance et en compétence pour résoudre inéquations et systèmes d’équations avec aisance.