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La géométrie plane et solide: formes, périmètres, aires et volumes

    La géométrie est une branche des mathématiques qui s’intéresse aux propriétés et aux mesures des figures dans l’espace, que cet espace soit plane (deux dimensions) ou solide (trois dimensions). Elle permet de comprendre et de calculer les dimensions des formes et objets qui nous entourent. Pour les collégiens et lycéens, maîtriser les fondamentaux de la géométrie plane et solide est essentiel.

    Formes géométriques de base en géométrie plane

    La géométrie plane s’occupe des formes sur deux dimensions. Parmi les formes de base, on trouv

    Le carré

    Caractérisé par quatre côtés de même longueur et des angles droits.

    Le rectangle

    Semblable au carré mais avec deux côtés plus longs.

    Le cercle

    Défini par un centre et un rayon, avec une distance constante entre le centre et tout point de la circonférence.

    Le triangle

    une figure à trois côtés pouvant prendre plusieurs formes (équilatéral, isocèle, scalène).

    Chacune de ces formes a des propriétés uniques et des formules pour calculer son périmètre et son aire.

    Périmètres et aires des formes planes

    Le périmètre d’une forme plane est la longueur totale de ses bords. L’aire est la mesure de la surface qu’elle occupe. Voici les formules pour quelques formes courantes:

    • Carré : Périmètre = 4 × côté et Aire = côté x côté (en cm²)
      Pour un carré de 7 cm de côté
      Périmètre = 4 x 7 = 28 cm
      Aire = 7 x 7 = 49 cm²
    • Rectangle : Périmètre = 2 × (longueur + largeur) et Aire = longueur × largeur.
      Pour un rectangle de 5 cm de longueur (L) et 8 cm de largeur (l)
      Périmètre = 2 x (5+8) = 26 cm
      Aire = 5 x 8 = 40 cm²
    • Triangle : Périmètre = somme des longueurs des côtés et Aire = base × hauteur / 2.

    Calcul du périmètre basé sur l’exemple en photo

    Périmètre = 10 + 8 + 14 = 32 cm

    La hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (la base). Ici la hauteur fait 8 cm.
    Aire = 14 x 8 /2 = 112/2 = 56 cm²

    • Cercle : Périmètre (circonférence) = 2π × rayon et Aire = π × rayon².

    Le diamètre = rayon x 2
    Ici le diamètre est de 13 donc le rayon = 6.5cm
    π = 3,14

    Calcul du périmètre :
    2 x 3,14 x 6,5 = 40.82 cm

    Calcul de l’aire :
    3.14 x 6.5 x 6.5 = 132.665 cm²

    Les solides en géométrie

    En géométrie solide, les formes sont tridimensionnelles. On y trouve notamment :

    Le cube : extensions du carré en 3 dimensions

    Le parallélépipède rectangle : semblable au cube, aussi connu sous le nom de pavé droit.

    La sphère : forme tridimensionnelle où tous les points de la surface sont à égale distance du centre.

    Le cylindre : avec deux bases circulaires parallèles et une surface latérale courbée.

    Le cône : caractérisé par une base circulaire et une pointe appelée sommet.

    La pyramide : avec une base polygonale et des faces triangulaires qui se rejoignent en un sommet.

    Calcul du volume et de l’aire des solides

    Le volume mesure l’espace occupé par un solide, tandis que l’aire totale correspond à la somme de toutes les surfaces qui bordent le solide. Les formules pour calculer ces mesures pour certains solides courants sont les suivantes :

    • Cube : Volume = côté³ et Aire totale = 6 × côté².
      Côté du cube = 5 cm
      Volume = 5 x 5 x 5 = 125 cm³
      Aire = 6 x 5 x 5 = 150 cm²
    • Parallélépipède rectangle : Volume = longueur × largeur × hauteur et Aire totale = 2 × (longueur × largeur + largeur × hauteur + hauteur × longueur).
      Longueur = 10 cm; Largeur = 8 cm et hauteur = 12 cm
      Volume = 10 x 8 x 12 = 960 cm³
      Aire = 2 x (10×8 + 8×12 + 10×12) = 2 x (80+96+120) = 2 x 296 = 592 cm²
    • Sphère: Volume = (4/3) x π × rayon³ et Aire totale = 4π × rayon².
      Rayon = 5 cm
      Volume = (4/3) x 3.14 x 5³ = 523.33 cm³
      Aire totale = 4 x 3.14 x 5² = 314 cm²
    • Cylindre: Volume = π × rayon² × hauteur et Aire totale = 2(π × rayon² ) + (2π x rayon x hauteur)
      Rayon = 8 cm et Hauteur = 12 cm
      Volume = 3.14 x 8² x 12 = 2 411.52 cm³
      Aire totale = 2(3.14 x 8²) + (2×3.14x8x12) = 401.92 + 602.88 = 1004.8 cm²
    • Cône : Volume = 1/3 x π × rayon² × hauteur et Aire totale = π × rayon × (rayon + apothème).
      Rayon = 5 cm, hauteur = 10 cm et l’apothème = 7 cm
      Volume = 1/3 x 3.14 x 5² x 10 = 261.66 cm³
      Aire totale = 3.14 x 5 x (5 + 7) = 188.4 cm²
    • Pyramide : Volume = 1/3 × aire de base × hauteur
      Aire de base = 110 cm², hauteur = 15cm
      Volume = 1/3 x 110 x 15 = 550 cm³

    Exercices pour s’entrainer

    Apprenez à appliquer les formules de géométrie en résolvant des problèmes pratiques. Commencez par de simples calculs de périmètre ou d’aire sur des figures planes, puis progressez vers le calcul du volume sur les solides. Travailler avec des objets réels peut également aider à visualiser et à comprendre les concepts géométriques. Par exemple, mesurer la boîte d’un produit pour en calculer le volume ou la surface des faces.

    Source de l’exercice : https://mathe.kreins.lu/9ST/9-volex.pdf


    Importance de la géométrie dans la vie quotidienne

    La géométrie n’est pas seulement utile en mathématiques; elle est omniprésente dans la vie quotidienne. De la conception architecturale à la modélisation en design graphique, en passant par l’analyse spatiale en géographie. Les élèves qui maîtrisent la géométrie seront mieux préparés pour les domaines qui exigent une pensée spatiale et des compétences en résolution de problèmes.

    Ne sous-estimez jamais le pouvoir de l’entraînement et de la pratique. La régularité est la clé de la réussite en géométrie. L’application des concepts dans des situations de la vie réelle peut rendre l’apprentissage plus engageant et significatif. Et n’oubliez pas, l’erreur est humaine; chaque problème résolu incorrectement est une chance d’apprendre et de s’améliorer.