Les fonctions linéaires et affines sont le fondement même de l’apprentissage des mathématiques au collège et au lycée. Leur maîtrise offre une base solide pour comprendre les concepts plus avancés de l’algèbre et de l’analyse. Abordons ensemble les équations de droites et leurs représentations graphiques.
Comprendre les fonctions linéaires et affines
Une fonction linéaire est une relation entre deux variables qui se traduit par une droite. Son équation est de la forme f(x) = mx, où m représente la pente de la droite. Cette pente détermine la direction de la droite. Si m est positif, la droite monte à mesure que l’on se déplace de gauche à droite; si m est négatif, elle descend.
Une fonction affine, quant à elle, ajoute une constante b à cette relation : f(x) = mx + b. Le nombre b est l’ordonnée à l’origine, le point où la droite coupe l’axe des ordonnées (l’axe vertical).
Dans le cas où m = 0, la fonction est dite constante, et la représentation graphique est une droite horizontale.
Équation d’une droite
La forme la plus commune de représenter l’équation d’une droite est celle dite « y = mx + b ». Dans cette équation, y désigne la valeur dépendante, x la valeur indépendante, m est la pente et b l’ordonnée à l’origine.
L’équation peut aussi être représentée sous la forme ax + by + c = 0. Pour retrouver la forme y = mx + b, il suffit de résoudre par rapport à y.
Tracer une droite sur un graphique
Pour tracer une droite, vous devez identifier deux points suffisants pour déterminer la droite. Une méthode consiste à :
- Calculer l’ordonnée à l’origine b en substituant x par 0 dans l’équation.
- Choisir une valeur aléatoire pour x et calculer le y correspondant.
Avec ces deux points, tracez une droite qui les relie sur un graphique.
Calculer la pente
La pente m d’une droite est cruciale car elle indique la vitesse à laquelle y change par rapport à x. Mathématiquement, elle est définie comme le « taux de variation » entre deux points sur la droite. Vous pouvez le trouver en utilisant la formule :
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
Où (x1, y1) et (x2, y2) sont deux points distincts sur la droite. La pente détermine également si deux droites sont parallèles (mêmes pentes) ou perpendiculaires (leurs pentes sont des inverses négatives).
Pente-intercepter la forme vs. forme ordinaire
La compréhension de la différence entre la forme pente-intercept (y=mx+b) et la forme normale (ax+by+c=0) est essentielle. La première est pratique pour tracer rapidement la droite et pour voir clairement la pente et l’ordonnée à l’origine. La seconde est souvent utilisée pour analyser l’intersection de deux droites et pour la résolution de systèmes d’équations linéaires.
Exemples
Démontrons ces concepts à travers des exemples concrets :
Exemple 1: Soit la fonction f(x) = 2x + 3. La pente est 2 et l’ordonnée à l’origine est 3. On peut tracer cette droite en trouvant deux points :
- Quand x=0, y=3.
- Quand x=1, y=2x+3 = 5.
Avec ces points, (0,3) et (1,5), on peut tracer une droite.
Exemple 2: Si on a l’équation 3x + 4y – 12 = 0 et que l’on veut la mettre sous la forme pente-intercept, on l’écrit :
4y = -3x + 12
y = (-3/4)x + 3
La pente est -3/4 et l’ordonnée à l’origine est 3.
Astuce pour la mémorisation
Pour retenir comment tracer une droite, souvenez-vous de l’acronyme « Y = MX + B » :
- Y: toujours mettre la variable dépendante sur l’axe vertical.
- M: penser à la montée pour retenir que c’est la pente.
- X: la variable indépendante, toujours sur l’axe horizontal.
- B: imaginez un petit « bas » signalant que l’ordonnée à l’origine est le point où la droite rencontre l’axe des ordonnées.
Ce sont les clés pour non seulement comprendre, mais aussi se souvenir des fonctions linéaires et affines et de la manière de travailler avec elles. Le fait de pratiquer régulièrement le tracé de droites et de calculer des pentes renforcera votre compréhension et votre aisance avec ces fonctions essentielles en mathématiques.